浅析防空机制:防空圈单次判定击落概率与累积击落概率对时间的表达式及击落时间期望[已修正]

“Mathematics and Physics rest beyond the boundaries of Loong’ s magic”         ——Pythagoras · Akizuki

继上一个帖子:
未修正版本
本体镇楼

如果说战列的舰炮对决、驱逐的白刃相接看的是技术的话,那么空与海的碰撞则三分看属性,七分看运气。舰盟的防空机制与WOWS最大的不同点,或者说前者标新立异之处,在于引入了概率击落。正所谓,只要运气好,河内能棍中途岛;只要缘分到,兰利强撕辽宁号💔(滑稽)不过相信各位初中都学过“大数定理”,尽管不排除小概率事件连续发生的可能性,从宏观上看,防空炮取得的战果又存在一定的规律与必然性。本文将从击落概率、击落时间期望两大角度浅析舰盟的防空机制,聊为抛砖引玉吧。

放在前面的Definition:
这里所说的概率有三类,P(x=i)对应的“单次判定击落概率”实际上属于条件概率,也就是在“前t-1秒未被击落”的条件下,“第t秒被击落”的条件概率;P(t)对应的“累积击落概率”,在数学上就是第t秒时飞机处于“被击落”状态的概率,这一函数是对“单次判定击落概率”的累积,因此我称之为“累积概率”,这样不太专业但应该更好理解;剩下那个与第一个很像,都是第t秒掉落的概率,但不同之处在于它是“前t-1秒未被击落,第t秒被击落”的绝对概率,这一参量主要用来算数学期望,没有实战意义。

目前准确防空圈机制有如下特性:

1.各防空圈独立索敌,概率击落,独立判定。每个防空圈都优先锁定最先进入攻击范围的机组,直到其被击落或离开范围再切换目标。一艘拥有三个防空圈的船理论上最多同时攻击三个机组,但无法手动锁定机组。

2.防空炮可以理解为100%命中的副炮,第一发同样需要装填,先判定,后扣血,扣血永远比判定滞后一个周期。因此本文数学推导中的时间t以n秒末为准。

3.每秒的独立击落概率为b/a形式的分数,分子是每次攻击造成的伤害。每次伤害等于秒伤乘以周期(e.g.岛风外圈秒伤29,那么每次外圈射击造成29 x 5 = 145点伤害),分母是当前飞机剩余血量。受到攻击时,飞机耐久度减少。

     这个定义看起来比较奇怪,没有什么科学逻辑。其实这个函数在飞机只受一个防空圈攻击时可以化简:累乘式中前项的分子与后项分母正好相消,因此累积击落概率可以表示为bt/m形式,即击落概率与总伤害“正好”成正比。同理,战斗机缠斗也可以等效为承受防空圈的伤害,只不过秒伤并不恒定,因此战斗机缠斗的击落概率与时间成线性关系;开始的一段时间内,击落概率与时间成正比,直到双方出现减员为止。
    为什么“正好”呢,因为这个函数本来就是这样构造出来的,程序员在设计之初考虑的就是,在每个周期内,累积击落概率与时间线性相关。但是当飞机同时受多个防空圈攻击时,由于各圈判定和扣血周期不同,因此实战判定的表达式就非常难看了,实际的累积击落概率并非与时间成线性关系。

4.防空武器射速只与防空圈有关,外圈5s为一射击周期,中圈2s,内圈0.5s。

5.每个机组同时只能有一架飞机受攻击,该机被击落后则切换至下一架,直到全部被击落为止。受损伤的飞机在降落后恢复耐久。

用数学语言来翻译一下吧(下式省略推导过程):

定义:a对应内圈秒伤,b对应中圈秒伤,c对应外圈秒伤(如果没有内圈的话,秒伤就是零),m对应目标机组的单架飞机初始耐久,t表示攻击持续时间(未取整),h(t)表示t秒时飞机血量

公式会自动被吞,故所有函数以图片形式展示(虽然看起来复杂,但本身机理就是简单条件概率问题,因此推导过程省略,当然,欢迎大佬们验证计算并予以斧正):
由于同组飞机的累积概率无继承关系,因此击落整组飞机的时间可直接用此结果乘以飞机数量
按照现有公式,所有船对特定防空圈内机组的击落时间数学期望均可求出。

下一期预告:顶驱点灯时间数学期望表

Updated at 2020-05-05 08:33:27

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中圈确定是1s了?
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支持技术贴
[嗒啦啦2_抱大腿]
附带与此生的聊天记录以供参考,感谢某萝莉控牺牲陪VTB的时间解答问题

  • 满崽
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数学带佬
  • 筱昊
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建议你把回复一楼的  是一秒  给删了,你是作者,这么说容易误导
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  • 嗯好的,其实表达式还没修,但最终结果的图像就算放大成矩形,累加后也就1%级别的误差,我在犹豫要不要修(毕竟所有式子都以图片形式保存,必须另起炉灶)

  • 其实我觉得就算修正了也不会有多少人真正去验证或者计算,我准备只修正我这边的公式,以后主要氵一些更直观的分析与图表

所以机组中每架的耐久是独立的,击落一架后换下一架满耐久的继续扣?
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另外,说了击落时间这一离散型随机变量的均值而不说方差是不完整的(确信)
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这就是数理统计🐴?我好方[嗒啦啦2_累]下个学期开课
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支持[嗒啦啦2_抱大腿]
WOW我也是有精华帖的人啦(开心)虽然是氵出来的
其实之前那个英驱帖花的时间更多,考证、paraphrase和翻译总共花了好几个小时,可惜主楼图片数量不够没给精(悲)
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  • Gause
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我也裂开了[嗒啦啦2_哭]
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  • 时间
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那先派一组战斗机进去吃了外圈第一波伤害,然后撤出,然后再派鱼蕾机进去4秒然后出来是不掉血[嗒啦啦2_吃瓜]
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  • 是这样的,停留时间小于判定周期的话不会扣血或判定,好比你主炮装填到一半对面出射程,但一般不会这么做,而是投弹时用空载煎包垫在鱼雷机前面挡伤害

我对舰载机的击毁机制不算太了解,虽然好些代码看的费劲些,但看结论,确实,在投弹量确定之下,该游戏是在时间上等概率判定飞机击毁于否;
比较于数学期望,舰体本身也在规避,单舰防空炮击毁机数也目存在正态分布类似的极限;游戏瞬息万变,这个实际上了解下机制就好,最主要是莫对敌方下雷的常规位置;毕竟大多数情况下小集群攻击威胁不大,但集火却及其考验规避技巧
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  • 唔,确实,如果只看单防空圈的话概率在时间上是均匀分布的,但是多防空圈的时候由于扣血步调不同,因此图像画出来有点难看,我直接简单粗暴死算了(捂脸),不知道大学里学高数以后有没有更巧妙的方法,不过总体来说击落时间期望还是接近最大击落时间的一半~

    关于集火和规避的问题,我写这个的时候确实没想太多......其实想也做不到,主要还是我数学水平太菜了(捂脸)

  • 我们概率论与数理统计有学,这个可以视为中心近似法,构造为正态分布,或者考虑了攻击伤害方差后近似为t分布,最终是可以将u的大概范围给出;

    编程者应该也加入了随机的运算代码,使复杂度有所提高

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